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Page 8 of 23                     Tan et al. Complex Eng Syst 2023;3:6  I http://dx.doi.org/10.20517/ces.2023.10





               Case 3. If  ∧   ,    = ∅,  ∧   ,      ≠ ∅,    ∈  ∧   ,      , and there exist    ≠    and    ∈  ∧   ,     , we have









                         ˇ                                                             
                         Ξ
                               ∗     ∗     ∗       ∗      ∗     · · ·   ∗       ∗    ∗  
                         11    ˇ                                                       
                        Γ       −P       ∗  ∗      ∗      ∗     · · ·   ∗       ∗    ∗ 
                          21                                                           
                        Γ       0  −R      ∗       ∗      ∗     · · ·   ∗       ∗    ∗ 
                          31                                                           
                        Γ      0     0   −     2 R     ∗  ∗     · · ·   ∗       ∗    ∗ 
                                                                                       
                         41    0     0     0    −     3 R     ∗  · · ·  ∗       ∗    ∗  
                         Γ
                                                                                                     (19)
                         51    0     0     0       0            · · ·   ∗       ∗    ∗   < 0,
                         Γ
                                                        −     4 R                      
                          .    .     .     .       .       .    .       .       .    .  
                         .     .     .     .       .       .     .      .       .
                         .     .     .     .       .       .     .      .       .    . 
                                                                                      . 
                         61                                                            
                        Γ       0    0     0       0      0     · · ·  −     ,  +3 R     ∗  ∗ 
                          71                                                           
                                                                                 ˇ
                        Γ      0     0     0       0      0     · · ·   0     −R     ∗ 
                                                                                       
                         Γ 81  0     0     0       0      0     · · ·   0       0   −R   
                                                                                       ˆ 
                                                                                       
               where


                                      ˇ 11    ∗    ∗    ∗    ∗    ∗   · · ·   ∗    
                                       Ξ
                                                                                   
                                              ˜ 22
                                      ˜ 21  Ξ      ∗    ∗    ∗    ∗   · · ·   ∗    
                                       Ξ
                                                                                   
                                              ˜ 32
                                                   ˜ 33
                                      ˜ 31  Ξ     Ξ     ∗    ∗    ∗   · · ·   ∗    
                                       Ξ
                                                                                   
                                       ˜ 41  ˜ 42  ˜ 43  ˜ 44                      
                                      Ξ       Ξ       Ξ       Ξ       ∗  ∗  · · ·  ∗  
                                ˇ
                                Ξ      =    ˜ 51  Ξ  −S 4    S 4    Ξ ˜ 55  ∗  · · ·  ∗     ,
                                              ˜ 52
                                       Ξ
                                                                                   
                                                                   ˜ 66
                                      ˜ 61   0     0    0    0   Ξ    · · ·   ∗    
                                       Ξ
                                                                                   
                                       . .    . .  . .   . .  . .  . .  .  .  . .  
                                       .      .    .     .    .    .    .     .    
                                                                                   
                                      ˜    +5,1                            ˜    +5,  +5
                                      Ξ
                                             0     0    0    0    0   · · ·  Ξ       
                             ˇ
                              11
                            Ξ       =       {P      A      } + Q      +       Q    − 4(1 +       )R    +               (ℎ)(P      − P      ).
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